FUn: Frames and Unbounded Operators

Operatoren sind die mathematische Objekte, die es erlauben Übergänge bzw. physikalische Systeme zu beschreiben. Ein Großteil der Operatoren-Theorie beschäftigt sich mit beschränkten Operatoren,  die, salopp gesagt, die Energie erhalten.  Um solche Objekte etwa mit Computer bearbeiten zu können ist eine Matrizen-Darstellung notwendig. Dies kann etwa zur Simulation der Schallausbreitung verwendet werden. Dafür werden traditionell Basen verwendet, aber in letzter Zeit wurden auch Rahmen (engl. Frames) verwendet. Am Institut für Schallforschung wurde gezeigt, dass diese Darstellung (mit Redundanz) auch für Operatoren Vorteile hat.

Viele interessante Operatoren, z.B. Differentialoperatoren oder Operatoren in der Quantenmechanik sind jedoch unbeschränkt. Von Neumann bemerkte bereits 1929, dass eine Matrizen-Darstellung mit Basen zur Pathologie führe. Im Gegensatz zu Fall der beschränkten Operator werden Frames wird hier nicht extrem viel helfen, da diese auch sehr natürlich mit beschränkten Operatoren verbunden sind, obwohl Redundanz bei einigen Problemen helfen kann. Was das Potenzial hat, enorm zu helfen, sind Folgen von Vektoren, die auf natürliche Weise mit unbegrenzten Operatoren verbunden sind. Solche Folgen wurden in der Frame Theorie als Verallgemeinerung unter anderem am Institut für Schallforschung untersucht, wie zum Beispiel sogenannte Reproduzierende Paare.

In dem 2-Jahres-Projekt "Frames and Unbounded Operators (FUn)" wird die Theorie erarbeitet solche Folgen für die Matrizen-Darstellung von unbeschränkten Operatoren zu verwenden.