„Schnelles Rechnen“ kann vieles bedeuten. Wer etwa eine Zahl wie 1225 durch fünf teilen möchte, kann dies ganz schnell im Kopf tun: Einfach die Zahl verdoppeln und hinten die Null wegstreichen. Das Ergebnis ist also 245. „Heute sind solche Tricks in der Mathematik irrelevant. Wir beschäftigen uns jedoch intensiv damit, Algorithmen schneller zu machen. Nicht immer gelingt das aber“, erklärt der Mathematiker Martin Grötschel, der auch Präsident der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften ist, und eine Kurt Gödel-Lecture im Rahmen der neuen „Akademievorlesungen“ am 18. März 2019 im Festsaal der Österreichische Akademie der Wissenschaften (ÖAW) hielt. Im Interview spricht er über die Rolle und die Grenzen der Mathematik in der Gegenwart.
Sie fordern seit vielen Jahren, die Mathematik muss sich öffnen und hinein ins Leben. Was genau meinen Sie damit, und ist diese Forderung noch aufrecht?
Martin Grötschel: Nun, ich glaube, dass unser heutiger Lebensstil ohne Mathematik nicht realisierbar ist. In fast allen Geräten, die wir benutzen, steckt in irgendeiner Weise Mathematik. Das ist niemandem klar. Selbst so einfach erscheinende Dinge wie der öffentliche Nahverkehr werden heute durch Mathematik gesteuert, ein Handy ist ein reines Mathematikinstrument; die Telefonie, das Internet, moderner Flugverkehr und der schnelle und preiswerte Transport von Gütern würden ohne Mathematik nicht funktionieren. Ich könnte diese Beispiele endlos fortsetzen.
Unser heutiger Lebensstil ist ohne Mathematik nicht realisierbar.
Unbefriedigend ist aber: in der Öffentlichkeit ist das alles nicht sichtbar. Da heißt es nur, „das macht der Computer“, aber in Wahrheit steckt dahinter Mathematik. Ich bemühe mich, den Menschen zu erklären, wie sehr Mathematik unser Leben beeinflusst und dass in diesem Fach wichtige Grundlagenforschung betrieben wird, die konkrete Auswirkungen auf unser tägliches Leben hat.
Können Sie ein konkretes Beispiel nennen?
Grötschel: Nehmen wir den öffentlichen Nahverkehr in Berlin. Hier fahren täglich über 1.300 Busse umher, in Summe machen sie rund 28.000 Fahrten zwischen zwei Endhaltestellen. Das Optimierungsziel ist, die Busse so einzusetzen, dass so wenige Fahrzeuge wie möglich benötigt werden. Bei dieser Aufgabenstellung kommen Sie schnell auf Optimierungsprobleme mit 100 Millionen Variablen. Das ist eine große Zahl! Sie haben in der Schule vermutlich mit zwei oder drei Variablen gerechnet. Man kann sich vorstellen, dass die Mathematik, die dafür entwickelt wurde, sehr komplex ist. Durch sie hat sich aber letztlich der öffentliche Nahverkehr verbessert und bleibt bezahlbar.
Sie erklären in Ihrem Vortrag „Schnelles Rechnen“ mathematische Prinzipien, die die digitalen Entwicklungen der letzten Jahre maßgeblich vorangetrieben haben. Sie bringen Beispiele aus der kombinatorischen Optimierung, erklären die Graphentheorie und versuchen, mathematische Modellierung zu veranschaulichen. Ist es tatsächlich notwendig, dass alle das verstehen, um sich mit dem Handy von A nach B zu navigieren?
Grötschel: Jeder Interessierte kann die Grundprinzipien der Methodik verstehen, aber natürlich nicht alle Details. Ich möchte durch meine Erklärungen vor allem aber erreichen, dass man den hierbei erbrachten geistigen Leistungen ein wenig Respekt entgegenbringt. Viele Menschen denken, dass Problemlösungen beinahe automatisch erfolgen und erwarten, dass alles schnell und einfach geht. Die Leistung, die dahinter steht, wird nicht gewürdigt und häufig den falschen Leuten zugeordnet. Ich sehe zum Beispiel den momentan großen Hype darum, dass angeblich alles durch Künstliche Intelligenz und maschinelles Lernen erledigt werden kann, sehr nüchtern. Es gibt natürlich Erfolge, aber die Grenzen werden selten genannt. Außerdem haben auch diese Intelligenzen tiefe mathematische Grundlagen. Es ist wichtig zu wissen, wo solche Fortschritte herkommen.
Mathematik hat auch Grenzen. Manches ist gar nicht berechenbar, anderes nur sehr schwer.
Sie brechen also eine Lanze für die oft missachtete Mathematik?
Grötschel: Ja, ich versuche, ein wenig Werbung für Mathematik zu machen und den Menschen ins Bewusstsein zu rufen, wie bedeutend sie nicht nur intellektuell, sondern auch für den Alltag ist.
Der nächste Punkt ist auch, dass man nicht beliebige Forderungen an die Mathematik stellen kann. Man kann nicht davon ausgehen, dass alles immer schneller, besser und größer geht. Ich erläutere in meinem Vortrag, dass manche Dinge extrem schwierig sind und dass Mathematiker/innen und Informatiker/innen nicht selten sehr lange arbeiten müssen, um bei den relevanten Problemen unserer Zeit überhaupt in die Nähe der Lösbarkeit zu kommen. Mathematik hat eben auch Grenzen. Manches ist gar nicht berechenbar, anderes nur sehr schwer. Hier haben oft schon kleine Veränderungen in der Problemstellung große Auswirkungen auf ihre Lösbarkeit.
Wo zum Beispiel?
Grötschel: Betrachten wir zum Beispiel die Fahrzeugnavigation. Es ist sehr einfach, den kürzesten Weg zwischen zwei Orten zu berechnen. Das kennen Sie aus Ihrem Auto. Will man aber auf einer Leiterplatte mit einer automatisierten Bohrmaschine Löcher bohren, stellt sich die Frage, wie die Bohrmaschine über die Leiterplatte fahren soll, um alle notwendigen Bohrungen vorzunehmen und dabei den schnellsten Weg zu finden. Das hört sich ganz einfach an und zwar so, als wäre es nicht viel anders als eine normale Wegnavigation. Es handelt sich aber um eine mathematisch sehr schwer zu lösende Aufgabe.
Was macht es so viel schwerer?
Grötschel: Ich bin nicht in der Lage, jemandem in wenigen Worten zu erklären, warum das so ist. Es ist sogar noch schlimmer: auch Informatiker/innen und Mathematiker/innen verstehen das nicht wirklich. Zur Erklärung wurde die Komplexitätstheorie entwickelt. Sie versucht, die unterschiedlichen Schwierigkeitsgrade von Problemen abzuschätzen. Das Erklärungsgerüst steht, aber in dieser Theorie sind noch viele Fragen offen. Das Beispiel soll gerade veranschaulichen, dass es keineswegs einfach ist zu beurteilen, ob etwas einfach oder schwierig ist.
Das heißt, man muss „Schnelles Rechnen“ mit einem Augenzwinkern betrachten? Sie zeigen also nicht Rechentricks, mit denen man die mathematischen Aufgaben von heute schneller verstehen lernt?
Grötschel: Ich beginne durchaus mit Rechentricks, diese sind aber mit der Entwicklung von Computern obsolet geworden. Ich werde vielmehr auf die enormen Fortschritte der Algorithmik in der Informatik und Mathematik eingehen, gleichzeitig auch die Grenzen der Entwicklung und des Verstehens aufzeigen. So gibt es beispielsweise Algorithmen, die in der Theorie ein Problem viel schneller lösen können als andere. In der Praxis zeigt sich das aber nicht. Beispiele hierfür gibt es etwa in der linearen und gemischt-ganzzahligen Optimierung.
Das klingt etwas frustrierend.
Grötschel: Ja, es ist sehr unbefriedigend, dass wir das praktische Verhalten von Algorithmen nicht so gut verstehen, wie wir es eigentlich sollten. Klar, Computer sind über die Jahre immer schneller geworden. Dennoch möchte ich aber festhalten, dass in vielen Anwendungsfällen die Geschwindigkeitsfortschritte durch bessere mathematische Algorithmen deutlich größer waren. Das weiß kaum jemand.
Es gibt Algorithmen, die in der Theorie ein Problem viel schneller lösen können als andere. In der Praxis zeigt sich das aber nicht.
Woher kommt Ihrer Meinung nach dieses Missverständnis, dass man zum Beispiel den Fortschritt bei Smartphones eher der Weiterentwicklung der Geräte zuschreibt und etwas weniger der Software?
Grötschel: Das ist schwer zu sagen, vielleicht liegt es daran, dass die Reklame von Computerherstellern über viele Jahre die Hardwareverbesserung in den Vordergrund gestellt hat. Es ist beeindruckend, dass sich über viele Jahre alle 18 Monate die Rechengeschwindigkeit und der Speicherplatz bei gleichbleibendem Preis verdoppelt haben. Man hatte das Gefühl, das gehe immer weiter so, man brauche nur ein paar Jahre zu warten und könne dann alles lösen. Die intellektuellen Leistungen bei der Softwareentwicklung wurden nie auf ähnliche Weise gewürdigt. Es ist Zeit, jetzt einmal auf Algorithmen zu fokussieren und sich auch darüber klar zu werden, was man mit Computern lösen kann und was nicht.
