15.06.2018

Wahrscheinlichkeiten: Im Kleinen wie im Großen

Der Mathematiker und Fields-Medaillen-Gewinner Martin Hairer erklärte bei einer ÖAW-IST Austria Lecture in Wien, wie man selbst „sinnlosen“ Gleichungen einen Sinn gibt – und er zeigte, wie sich von kleinen Bewegungen auf das große Ganze schließen lässt.

Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Münze, wenn man sie in die Luft wirft, wieder fängt und auf den Handrücken legt, „Kopf“ anzeigt? Es ist wohl eine der einfachsten Wahrscheinlichkeitsrechnungen, mit der Mathematiker Martin Hairer vom Imperial College London sein Publikum im vollbesetzten Festsaal der Österreichischen Akademie der Wissenschaften (ÖAW) langsam an sein Forschungsfeld heranführte. Die Rede ist von den stochastischen partiellen Differentialgleichungen. Ein Gebiet, bei dem sich nicht nur Laien schwer tun, sondern das weltweit auch nur die wenigsten Mathematiker/innen verstehen.

Pollen und Aktienkurse

Während einfache Differentialgleichungen ein Medium beschreiben können, das von Raum und Zeit abhängt, wie etwa die genaue Position eines Planeten zu einer bestimmten Zeit im Sonnensystem, kommt bei stochastischen Gleichungen noch der Zufall hinzu, also die Stochastik. Als Beispiel nannte Hairer Pollen, die in einem Wassertropfen schweben. „Die Pollen wechseln ihre Position vollkommen willkürlich. Niemand kann sagen, wo genau sich eine Polle als nächstes befinden wird.“ Die Wahrscheinlichkeitstheorie gibt aber zumindest einen Hinweis darauf, wie sich die Teilchen bewegen, so Hairer. Diese Erkenntnis geht auf den Botaniker Robert Brown im Jahr 1827 zurück. Um die zufällige Pollenbewegung zu beschreiben, formulierte er die Gleichung der Brownschen Bewegung.

Wie sich zeigt, lässt sich diese aber nicht nur auf die Bewegung von Pollen anwenden, sondern gilt ebenso für die zufälligen Schwankungen von Aktien am Börsenmarkt. „Jeder Kauf oder Verkauf einer Aktie führt den Graphen zufällig ein unmerklich kleines Stück nach oben oder unten.“ Kaufen oder verkaufen aber tausende Menschen Aktien gleichzeitig, führt das zu deutlich merkbaren Marktschwankungen, so Hairer. Sichtbar wird diese Sammlung aus einzelnen Verkäufen und Käufen nicht zuletzt als beliebige Zick-Zack-Kurve auf den Bildschirmen. Das gilt im Übrigen auch für die Bewegung von Pollen. „Egal welche zufälligen Bewegungen man sich hier ansieht, es kommt immer ein solches Bild heraus.“

„Raue“ Mathematik

Im Falle der stochastischen partiellen Differentialgleichung verlässt man allerdings die Welt der klaren Linien und Kurven. Vielmehr wird die Sache mathematisch „rau“, wie es heißt. Ab diesem Zeitpunkt sind die Gleichungen unregelmäßig und eine Lösung ergibt keinen Sinn mehr.

Um es sich besser vorstellen zu können, warf Hairer, der 2014 für seine Arbeiten mit der begehrten Fields-Medaille ausgezeichnet wurde, ein Bild einer Gleichung an die Wand, das zeigte, wie sich verschiedenfarbige Kästchen, ähnlich wie bei einem stark verpixelten Bild, willkürlich und unaufhörlich aneinanderreihen. Selbst aus weiter Entfernung betrachtet ergeben die Kästchen kein klares Bild. Vielmehr sieht die visualisierte Gleichung aus wie Glut, in der hellorange und dunkle Punkte beliebig aufleuchten.

Um solche Gleichungen besser zu verstehen, sucht Hairer in seiner mathematischen Forschung nach Verbindungen zu jenen „einfachen“ Gleichungen, die als Ergebnis eine normalverteilte Kurve ergeben, wie im Falle der Gaußschen Glockenkurve. „Die Idee ist, man sucht sich ein Modell, das fast gleich ist und nimmt einen kleinen Parameter, der es einem erlaubt, das Modell zu optimieren.“

Im konkreten Fall beschreibt die Formel hinter dem „glühenden“ Bild, was passiert, wenn ein Magnet durch Erhitzen seine Magnetisierung verliert. Ab diesem kritischen Punkt beginnt das Magnetfeld zufällig zu schwanken und ändert ununterbrochen die Richtung. Hairer ist es gelungen, diese starken Schwankungen mathematisch mithilfe von stochastischen partiellen Differentialgleichungen zu beschreiben. „Wie sich herausstellt, ist dieser Übergang universell, also immer gleich.“