Rabbiner David Feuchtwang stammte aus Nikolsburg (Mikolov) in Mähren, wo bereits sein Vater, Meir Feuchtwang, Rabbiner war. Außerdem bekleidete Meir Feuchtwang das Amt des Mährischen Landesrabbiners. 1892 folgte David Feuchtwang seinen Vater in beiden Ämtern nach. Im gleichen Jahr heiratete er Jeanette Dünner, die Nichte des holländischen Oberrabbiners Josef Zwi Dünner.
1903 wurde David Feuchtwang als Gemeinderabbiner nach Währing berufen. Neben dieser Tätigkeit unterrichtete Rabbiner Feuchtwang an der Wiener israelitischen theologischen Lehranstalt und publizierte zahlreiche wissenschaftliche Arbeiten. Rabbiner Feuchtwang war mit den beiden bekannten Wiener jüdischen Schriftstellern Arthur Schnitzler und Richard Beer-Hofmann befreundet, die ebenfalls in Währing lebten. Im Jahr 1903 traute er Arthur Schnitzler und Olga Gussmann.
Als früher Zionist war Feuchtwang der einzige Rabbiner, der 1904 eine Trauerrede für Theodor Herzl bei der offiziellen Trauerfeier des zionistischen Aktionskomitees hielt. 1924 wurde er erster Präsident der österreichischen Landeszentrale der Misrachi, der religiösen Zionisten. Im Juni 1933 ernannte ihn der Wiener Kultusvorstand zum Oberrabbiner von Wien und damit auch vom Stadttempel in 1., Seitenstettengasse 4. Sein Nachfolger in Währing wurde Rabbiner Arthur Zacharias Schwarz. Am 5. Juli 1936 starb Feuchtwang unerwartet im Alter von 72 Jahren. Seine Witwe, Jeanette Feuchtang-Dünner, und seine vier Kinder, Benno, Wilhelm, Henriette und Erika, überlebten die Shoah.