Quantum field theory on the non-commutative two-torus / Matthias Leopold Kornexl

• VerfasserIn: Kornexl, Matthias Leopold
• Place / Publishing House: Wien, 2004
• Year of Publication: 2004
• Language: English
• Classification: 33.24 - Quantenfeldtheorie; 33.23 - Quantenphysik
• Physical Description: II, 101 S.; Ill.; 30 cm

ger: Ziel dieser Dissertation war das Studium nichkommutativer Effekte in quantenfeldtheoretischen Modellen. Besonderes Augenmerk galt hierbei dem nichtkommutativen Zwei-Torus. Im ersten Teil der Dissertation wurde das Landau-Problem am nichtkommutativen Torus behandelt und in weiterer Folge Energiekorrekturen auf Grund eines schwachen periodischen Potentials berechnet. Diese Rechnungen führten auf ein Energiespektrum in Form des bekannten Hofstadter-Schmetterlings.<br />Im Hauptteil der Arbeit beschäftigte ich mich dann mit der Renormierbarkeit einer skalaren, wechselwirkenden Quantenfeldtheorie am nicht-kommutativen Torus. Mit Hilfe von "annähernd endlich-dimensionalen" Algebren wurde dazu zuerst die Theorie regularisiert. Ebenso zeigte ich in diesem Rahmen eine Möglichkeit, Feltheorien in einem äußeren Feld durch die Verwendung projektiver Moduln zu definieren. Naive Ein- und Zweischleifen Rechnungen im Fall der skalaren, wechselwirkenden Feldtheorie zeigten auch in diesem Modell-<br /> ähnlich zur nichtkommutativen Ebene - das Mischen von Ultraviolett- und Infrarot-Divergenzen (UV/IR-Mixing), was zu einer Nichtrenormierbarkeit der Theorie führt. Im Rahmen von Polchinskis Renormierungsgruppen-Gleichungen und unter Verwendung eines von Grosse und Wulkenhaar hergeleiteten Power-Counting Theorems gelang es dann aber zu zeigen, dass eine geeignete Reskalierung der physikalischen Parameter auf eine renormierbare Theorie führt.<br />

eng: The aim of this thesis was a deeper investigation of non-commutative effects in quantum-field-theoretical models, especially models on the non-commutative two-torus. The first part of the thesis concerned the non-commutative Landau problem on the torus. Using the so-called Peierls projection I further calculated the energy-corrections due to a weak periodic potential, which led to a Hofstadter-butterfly like spectrum.<br />The main part of the thesis concerned renormalization properties of a scalar field-theory on the non-commutative two-torus. The first step was to regularize the theory using almost finite-dimensional algebras.<br />Within this framework I also showed how to define a field-theory in an external magnetic field using finitely generated projective modules. In the case of the scalar, interacting theory, simple one- and two-loop corrections showed a UV/IR-mixing, which - like in the case of the non-commutative plane - destroys the renormalizability of the theory.<br />Nonetheless, within the framework of Polchinski's renormalization group equations and using a power-counting theorem derived by Grosse and Wulkenhaar, I was able to show that by a certain rescaling of the physical parameters of the theory, renormalizability is restored.